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西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
For personal use only in study and research; not for commercial use
学号
07
姓名
For personal use only in study and research; not for commercial use
李亚强
实验课题
线性方程组的最速下降法与共轭梯度法
For personal use only in study and research; not for commercial use
实验目的
熟悉线性方程组的最速下降法与共轭梯度法
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
实验内容
线性方程组的最速下降法
线性方程组的共轭梯度法
成绩
教师
实验五实验报告
实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。
实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
实验原理：
最速下降法：
从某个初始点 出发，沿在点处的负梯度方向
求得的极小值点, 即
然后从出发，重复上面的过程得到。如此下去，得到序列{}
可以证明，从任一初始点 出发， 用最速下降法所得到的序列{}均收敛于问题使最小化的解，也就是方程组的解。其收敛速度取决于，其中 ,分别为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值，按如下方法决定：
共轭梯度法
其基本步骤是在点 处选取搜索方向, 使其与前一次的搜索方向 关于共轭，即
然后从点 出发，沿方向求得的极小值点 , 即
如此下去, 得到序列{}。不难求得的解为
注意到的选取不唯一，我们可取
由共轭的定义可得：
共轭梯度法的计算过程如下：
第一步：取初始向量, 计算
第步：计算
实验内容：
%最速下降法
function [x,k]=fastest(A,b,eps);
x0=zeros(size(b),1);
x=x0;
k=0;
m=1000;
tol=1;
while tol>=eps
r=b-A*x0;
q=dot(r,r)/dot(A*r,r);
x=x0+q*r;
k=k+1;
tol=norm(x-x0);
x0=x;
if k>=m
disp('迭代次数太多，可能不收敛！');
return;
end
end
x
k
%共轭梯度法
function [k,x]=gong_e(A,b)
esp=input('请输入允许误差esp=');
x0=input('请输入初始值x0=');
k = 0 ;
r0 = b-A*x0; %求出dangqian梯度
while norm(r0)>esp
r0 = b -A*x0;
k = k + 1 ;
if k==1
p0 = r0 ;
else
lamda=(r0'*r0)/(p0'*A*p0);
r1 = r0 - lamda*A*p0 ;
p0=r0+(r0'*r0)/(r1'*r1)*p0;
x1 = x0 + lamda*p0;
x0=x1;
r0=r1;
end
end
x=r0;
k;
end
实验结果：
A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];
b=[10 18 -14]';
eps=1.0e-6;
x =
-0.8750
7.1875
-5.5000
k =
60
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
?только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.?
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