第二章 设施选址
10.一家银行准备在某县农村地域投放一批ATM自动取款机，以方便农村用户取款。该农村地域村落座落情况和相对距离图2.13所表示。为了能确保任一村人全部能够在20分钟之内抵达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们位置又在哪里?
图2.13 村落座落情况和相对距离
关键点： 1. 明确N，M，A(j)
2. A(j)分析正确后，B
3. 熟悉最少点覆盖启发式算法步骤，考虑是否有容量约束。
解：【集合覆盖模型】
区域中需求点集合N={1,2,3,4,5,6,7}；
ATM取款机设施候选点集合M={1,2,3,4,5,6,7}；
由网络图确定候选设施点j可覆盖需求点集合A(j)和可覆盖需求点i设施节点集合B
2.10.1 候选点服务范围
村落号
A
B
1
1,2,3
1,2,3
2
1,2,4,5
1,2,4,5
3
1,3,4
1,3,4
4
2,3,4,6,7
2,3,4,6,7
5
2,5,6
2,5,6
6
4,5,6
4,5,6
7
4,7
4,7
因为A(4)={2,3,4,6,7}，| A(4)|=5为最大，故首先j'=4。因无
此时N={1,5}，M={1,2,3,5,6,7}；则更新候选点服务范围，见表2.10.2。
2.10.2 更新后候选点服务范围
村落号
A
B
1
1
1,2,3
2
1,5
3
1
4
5
5
2,5,6
6
5
7
因为A(2)={1,5}=N，恰好满足条件。则j'
总而言之，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4位置，2号为1,5村落服务，4号为 2,3,4,6,7村落服务。
11. —个临时帮助服务中心计划在一个大城市郊外开设一个新办公室。在经过一定精简以后，该企业有5个大合作伙伴。在一个以km为单位笛卡尔坐标系中，它们坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7 ，2)，(11，11)， (14，7)。它们服务需求量权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，关键日常费用是她们职员完成任务过程中运输费用。所以，用城市距离进行考虑，要求新办公室到各个合作伙伴之间运输运输费用最小。1）请确定一个新办公室地址，用笛卡尔坐标来表示对应结果。2）假如因为该地域人口稀少，城市还没有达成一定规模，能够用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间关系。
关键点：1. 补充交叉中值模型知识点
关键句：将n点需求选址问题转化为i=1
2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离；
3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件
解：（1）设新办公室地址坐标为(x,y),给题目已知5个点编号1~5。
因为笛卡尔距离di=|x-xi|+|y-y
则目标函数为时总运输距离H最短。
H=
x
w
wi
y
w
wi
4
3
3
4
3
3
4
2
5
11
2
5
7
2
7
2
2
7
11
4
11
11
4
11
14
1
12
7
1
12
wi=12为偶数，即x,y均在第六个、第七个
可得x=7，y∈
（2）设初始点为（x0，
di(0)=
目标函数H(运输总费用)=i=15
利用不动点算法，取一个初始迭代点（x0(0),y0
令x0(1)=i=15wix
H1=i=1
由EXCEL迭代得，结果图
费用结果保留四位小数得最优解为
x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020
（3）比较两次结果可知欧基米德中费用小于笛卡尔距离，因直线距离是＜直角距离，所以用欧基米德距离更为正确。直角距离比较适合于城区范围内选址，欧基米德距离比较适合于远距离选址。
12.一台机器工具小制造商要迁址，并确定了两个地域以供选择。A地年固定成本为800000元，可变成本为14000元/台；B地年固定成本为920XX0元，可变成本为13000元/台。产品最终售价为17000元/台。
（1） 当产量为多少时，两地总成本相等？
（2） 当产量处于什么范围时，A地优于B地？当产量处于什么范围时，B地优于A地？
解：答：设x为之制造商年产量
A地，总成本C(A)=800000+14000x
B地，总成本C(B)=920XX0+13000x
1)若两地成本相等，则C(A)=C(B)
解得：x=120
2）若A地优于B地，则C(A)<C(B),所以得0<x<120
同理，当x>120时，B地优于A地。
13．利用表2.8所表示原因评分，以最大综合得分为基础，建模分析应选择地点A、B、C中哪一个?
表2.8 原因评分表
解：权重矩阵设为W，则W
三个位置原因评分作为3行组成原因矩阵S。
S=
可得综合加权矩阵E=S*W=87.0282.62
可知E(A)> E(B)> E(C)。即选择A点。
14.一个玩具制造商在全国五个地域生产玩具，原材料将从一个新中心仓库运出，而此仓库地点还有待确定。运至各地原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地坐标位置如表2.9所表示。请确定中心仓库坐标位置。
表2.9 各地坐标位置
解：设仓库坐标为（x0，y0
初始解：，即x0(
直线距离为
di(0)
目标函数运输总费用H=i=15w
H
依据下列进行迭代：
x0(1)=i=15xid
直到运费无法减小。
用MATLAB 进行编码：
运行结果得，迭代78次得到最优解。
其中选址坐标为（5.6235,4.9918），最小运费为H=13.4550。
或由EXCEL迭代得，结果图
费用结果保留三位小数得最优解为X=5.5767，y=4.010,H=13.456
15.某物流企业拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供给配送，各工厂具体位置和年物料配送量见表2.10，设拟建物流企业仓库对各工厂单位运输成本相等。利用重心法计算确定物流企业仓库坐标位置为多少。
表2.10 各工厂具体位置和年物料配送量
解：设仓库坐标为（x0，y0)，4个工厂坐标为(xi,yi
初始解x0=1
di(0)=
此时H0
令x0(1)=i=15wix
H1=i=1
由EXCEL迭代得，结果图
结果保留整数得最优解为（42.22076，33.82437）,H=188709
或用MATLAB进行编码（文件见附件）：
运行结果得，迭代59次得到最优解。
其中选址坐标为（42.2865, 33.6732），最小运费为H= 188707.914。
16. 筹建一农副产品流通加工厂，可供选择候选厂址有D、E、F三处，因地址不一样各厂加工成本亦有区分，各厂址每十二个月费用如表2.7所表示。另外，为决定厂址还考虑了部分关键非成本原因，如当地竞争能力、气候改变和周围环境是否适合农副产品流通加工等。对于竞争能力而言，F地最强，D、E两地相平；就气候来说，D比E好，F地最好；至于环境，E地最优，其次为F地、D地。假如各主观原因关键性指数a、b、c依次为0.6、0.3和0.1，要求用因次分析法评定最好厂址在何处。
表2.11 各候选厂址每十二个月加工成本费用
关键点：P中值法分5个步骤进行。
解:
（1）计算客观量度值OMi ，
同理可得：OM
（2）计算主观评选值Sik
竞争能力（F>D=E） 注：D=E，比较记为0.5
两两相比
厂址
F
E
D
比重
S
D
0
0.5
0.5
0.167
E
0
0.5
0.5
0.167
F
1
1
2
0.666
气候（F>D>E）
两两相比
厂址
F
E
D
比重
S
D
0
1
1
0.33
E
0
0
0
F
1
1
2
0.67
环境（E>F>D）
两两相比
厂址
F
E
D
比重
S
D
0
0
0
0
E
1
1
2
0.67
F
0
1
1
0.33
（3）计算主观量度值SMi， SMi
原因k
D
E
F
关键性指数I
S
0.167
0.167
0.666
0.6
S
0.33
0
0.67
0.3
S
0
0.67
0.33
0.1
计算可得
SM
SM
SM
（4）计算位置量度值LMi，
因为题中没有给出主观原因和客观原因相互比重，假设二者相等即同种关键，即主客观比重值X=0.5。
LM
LM
LM
（5）决议
依据各位置量度值LMi大小，F厂址所得位置量度值在3个候选地址中最高，故选F
17.在某区域需计划建设若干个农贸市场为未来该区9个关键居民点提供服务，除第6居民点外，其它各点全部有建设市场条件，图2－6所表示。已知市场最大服务直径为3km，为保护该区域环境，期望尽可能少地建造农贸市场。问应怎样计划？
3
3
图2－6 小区居民点位置图
解：N＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,2,3,4,5,7,8,9}，由图2－6两点间最短距离，依据最大服务半径为3km约束及第6居民点不适合建市场要求，可确定集合A(j)和B(i)。如表2－3所表示。
表
表2－3 候选点服务范围
因为A(4)={1,3,4,5,6,7}，A(3)={1,2,3,4,5,6},|A(4)|= |A(3)|=6为最大,随机选择j’＝4。因为无容量约束故依次指派5,7,1,6,3,4点归节点4服务。此时，N＝{2,8,9},M＝{1,2,3,5,7,8,9},更新集合A(j)和集合B(i)后如表2－4所表示。
表
表2－4 候选点服务范围
因为A(8)＝{8,9}，|A(8)|＝|A(9)|=2为最大，故选择j’＝8或j’＝9，而且8，9两点归节点8或9服务。同理，再迭代一次，得j’＝2，居民点2归节点2服务。
所以，计算结果为（4,8,2）或（4,9,2）。
若选择j’＝3，故依次指派1,2,3,4,5,6点归节点3服务。此时，N＝{7,8,9},M＝{1,2,4,5,7,8,9},更新集合A(j)和集合B(i)后如表2－5所表示。
表
表2－5 候选点服务范围
因为|A(8)|＝3最大，选择j’＝8。所以计算结果为（3,8）。
第三章 设施计划
11. 某生产线共有8项作业，其工作周期为8分钟。已知各项作业装配次序和时间如表3.30所表示。请依据周期时间和作业次序限制，确定最少工作站数和各项作业安排，并算出此安排下生产线效率。
表3.30 周期时间和作业次序表
解：由题意得网络活动图（Job on nodes）：
A
A
B
C
D
E
F
G
H
由题意各作业所需时间之和=5+3+4+3+6+1+4+2=28
最小工作数=28/8=3.5,所以需要4个工作台
依据作业相关情况进行安排，结果以下表
工作站序号
作业单元
工作时间
空闲时间
1
H,G,F
7
1
2
E
6
2
3
D，C
7
1
4
B，A
8
0
生产线效率=完成作业所需时间总和/(实际工作站总数*时间周期)=28
12.某流水线有17项作业需要平衡，其中最长作业为2.4分钟，全部作业总时间为18分钟。该流水线天天工作450分钟。试求：
（1）最大和最小周期时间各是多少？
（2）该流水线理论上可能达成每日产能是多少？
（3）按最大产能来算，最少需要多个工作站？
（4）若天天产能为125分钟，则周期时间应为多长？
（5）若周期时间分别是9分钟和15分钟，则产能分别是多少？
解：（1）当17项作业只能串行依次进行时，可得最大周期为18min。
当17项作业均并行进行时，可得最小周期为2.4min。
（2）产能为单位时间生产产品数量。
以最大周期计算，得最小产能为1/18min=0.056/min；
以最小周期计算，得最大产能为1/2.4min=0.417/min；
总而言之，每日可能产能为[25,187.5]。
（3）依题意有需要18/2.4=7.5≈8
（4）周期时间为450/125=3.6min。
（5）当周期时间为9min时，产能为450/9=50/天；
当周期时间为15min，产能为450/15=30/天。
13. 某学院注册有四道手续：领取表格、咨询、领取班级卡和确定交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻一样大小房间，因为同时有新老学生，假如450名新学生领表后去咨询，550名老学生领表后直接去领班级卡，而毕业班学生已经注册过，领表后直接去缴费，具体学生流向如表3.31所表示。试问已经有部署是否能够改善，若能，该怎样改善？
表3.31 学生流向表
关键点：1.解题思绪：单向物流从至表 → 双向物流从至表 → 作业对按双向物流从至表中强度值排序，划分物流等级确定物流路线百分比 → 参考相关图得靠近程度排序表 → 按靠近程度得作业单位位置相关图 → 按靠近程度排序得作业单位面积相关图
2.参考相关图：
物流强度等级
A
E
I
O
U
X
物流路线百分比
10%
20%
30%
40%
0
0
负担物流量百分比
40%
30%
20%
10%
0
0
靠近程度
4
3
2
1
0
0
3.路线百分比设计=线路条数/总线路条数
解：由学生流向表得到双向物流表以下：
双向物流表
领表（A）
咨询(B)
领班级卡(C)
缴费(D)
领表（A）
700（2）
550（3）
50（5）
咨询(B)
200（4）
领班级卡(C)
750（1）
缴费(D)
依据学生流量划分物流等级确定物流路线百分比以下：
序号
作业单位对
强度值
路线百分比设计
路线条数
物流强度百分比
强度等级
1
C-D
750
20%
1
33.3%
E
2
A-B
700
20%
1
31.1%
E
3
A-C
550
20%
1
24.4%
E
4
B-C
200
40%
2
11.1%
O
5
A-D
50
O
累计
2250
由以上关系图得靠近程度排序表
领表A
咨询B
领班级卡C
缴费D
领表A
3/E
3/E
1/O
咨询B
3/E
1/O
0/U
领班级卡C
3/E
1/O
3/E
缴费D
1/O
0/U
3/E
累计
7
4
7
4
排序
2
4
1
3
作业单位位置相关图和作业单位面积相关图
领 表缴 费
领 表
缴 费
领班级卡
咨 询
领班级卡
缴 费
领 表
咨 询
现四道手续：领取表格、咨询、领取班级卡和确定交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻一样大小房间，即位置为下图关系
领班级卡
领班级卡
缴 费
领表
咨询
该部署可得到改善，改善方案为
领班级卡
领班级卡
缴 费
领 表
咨 询
14. 依据作业相关图，绘制作业单位位置相关图。
图3.28 习题14作业相关图
解：由该作业相关图可得靠近程度排序表以下：
A
B
C
D
E
A
4/A
2/I
0/U
0/U
B
4/A
2/I
3/E
3/E
C
2/I
2/I
0/U
0/U
D
0/U
3/E
0/U
1/O
E
0/U
3/E
0/U
1/O
累计
6
12
4
4
4
排序
2
1
5
3
4
可得作业单位位置相关图以下：
B
B
A
D
E
C
15. 某工厂有ABCDE五个车间，部署图以下，其中＋为各车间距心。该厂生产四种产品，各产品工艺路线和每个月产量如表3.4所表示，而且每种产品生产批量为50件。
（1）试以直角距离计算两两车间距离从至表；
（2）计算物流搬运量从至表F；
（3）计算搬运工作量，并以之作为物流强度表示从至表。假设每批次搬运移动1米成本是2元/米·批，试将上述物流强度从至表转化为物流成本从至表。
解：（1）车间直角距离从至表
A
B
C
D
E
A
27
54
75
39
B
27
27
48
66
C
54
27
39
69
D
75
48
39
48
E
39
66
69
48
(2) 物流搬运量从至表
A
B
C
D
E
A
600
650
900
0
B
600
0
0
C
850
400
D
1750
E
(3)物流强度从至表（物流强度=距离*物流量）
A
B
C
D
E
A
16200
35100
67500
0
B
16200
0
0
C
33150
27600
D
84000
E
因为每批次搬运移动1米成本是2元/米·批，所以每件搬运成本为2/50=0.04元/米*件，得到物流成本从至表图。
物流成本从至表
A
B
C
D
E
A
648
1404
2700
0
B
648
0
0
C
1326
1104
D
3360
E
16. 已知某工厂各作业单位原始数据如表3.23、表3.24所表示。试用作业单位关系图法部署平面图。
表3.23 各作业单位及面积
表3.24 作业单位关系
关键点：1.选出第一个作业最少有三面被其它作业包围；
2.不带面积平面图和带面积平面图没有完全对应关系。
3.此题多解。
解：第一阶段，确定各作业单位相对位置。画出样板，包含作业单位名称
代码及相关代码。
选出A级关系最多样板Y，将Y部署在平面图中部，其它按A→E→I→O→U级关系从多到少次序依次放到平面图中，可得放置次序为Y→X→Z→U→W→T→V,在部署过程中应保持关系强度大样板尽可能靠近放。
第二阶段，据各作业单位面积，以20 m2