实验四 IIR数字滤波器设计及软件实现
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一、实验目的
（1）熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法；
（2）学会调用MATLAB信号处理工具箱中滤波器设计函数（或滤波器设计分析工具fdatool）设计各种IIR数字滤波器，学会根据滤波需求确定滤波器指标参数。
（3）掌握IIR数字滤波器的MATLAB实现方法。
（3）通过观察滤波器输入输出信号的时域波形及其频谱，建立数字滤波的概念。
二、实验原理与方法
设计IIR数字滤波器一般采用间接法（脉冲响应不变法和双线性变换法），应用最广泛的是双线性变换法。基本设计过程是：①先将给定的数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标； ②设计过渡模拟滤波器；③将过渡模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器的系统函数。MATLAB信号处理工具箱中的各种IIR数字滤波器设计函数都是采用双线性变换法。第六章介绍的滤波器设计函数butter、cheby1 、cheby2 和ellip可以分别被调用来直接设计巴特沃斯、切比雪夫1、切比雪夫2和椭圆模拟和数字滤波器。本实验要求读者调用如上函数直接设计IIR数字滤波器。
本实验的数字滤波器的MATLAB实现是指调用MATLAB信号处理工具箱函数filter对给定的输入信号x(n)进行滤波，得到滤波后的输出信号y(n）。
三、实验内容及步骤
（1）调用信号产生函数mstg产生由三路抑制载波调幅信号相加构成的复合信号st，该函数还会自动绘图显示st的时域波形和幅频特性曲线，如图10.4.1所示。由图可见，三路信号时域混叠无法在时域分离。但频域是分离的，所以可以通过滤波的方法在频域分离，这就是本实验的目的。
图10.4.1三路调幅信号st的时域波形和幅频特性曲线
（2）要求将st中三路调幅信号分离，通过观察st的幅频特性曲线，分别确定可以分离st中三路抑制载波单频调幅信号的三个滤波器（低通滤波器、带通滤波器、高通滤波器）的通带截止频率和阻带截止频率。要求滤波器的通带最大衰减为0.1dB,阻带最小衰减为60dB。
提示：抑制载波单频调幅信号的数学表示式为
其中，称为载波，fc为载波频率，称为单频调制信号，f0为调制正弦波信号频率，且满足。由上式可见，所谓抑制载波单频调幅信号，就是2个正弦信号相乘，它有2个频率成分：和频和差频，这2个频率成分关于载波频率fc对称。所以，1路抑制载波单频调幅信号的频谱图是关于载波频率fc对称的2根谱线，其中没有载频成分，故取名为抑制载波单频调幅信号。容易看出，图10.4.1中三路调幅信号的载波频率分别为250Hz、500Hz、1000Hz。如果调制信号m(t)具有带限连续频谱，无直流成分，则就是一般的抑制载波调幅信号。其频谱图是关于载波频率fc对称的2个边带（上下边带），在专业课通信原理中称为双边带抑制载波 (DSB-SC) 调幅信号,简称双边带 (DSB) 信号。如果调制信号m(t)有直流成分，则就是一般的双边带调幅信号。其频谱图是关于载波频率fc对称的2个边带（上下边带），并包含载频成分。
（3）编程序调用MATLAB滤波器设计函数ellipord和ellip分别设计这三个椭圆滤波器，并绘图显示其幅频响应特性曲线。
（4）调用滤波器实现函数filter，用三个滤波器分别对信号产生函数mstg产生的信号st进行滤波，分离出st中的三路不同载波频率的调幅信号y1(n)、y2(n)和y3(n)， 并绘图显示y1(n)、y2(n)和y3(n)的时域波形，观察分离效果。
4．信号产生函数mstg清单
function st=mstg
%产生信号序列向量st,并显示st的时域波形和频谱
%st=mstg 返回三路调幅信号相加形成的混合信号，长度N=1600
N=1600 %N为信号st的长度。
Fs=10000;T=1/Fs;Tp=N*T; %采样频率Fs=10kHz，Tp为采样时间
t=0:T:(N-1)*T;k=0:N-1;f=k/Tp;
fc1=Fs/10; %第1路调幅信号的载波频率fc1=1000Hz,
fm1=fc1/10; %第1路调幅信号的调制信号频率fm1=100Hz
fc2=Fs/20; %第2路调幅信号的载波频率fc2=500Hz
fm2=fc2/10; %第2路调幅信号的调制信号频率fm2=50Hz
fc3=Fs/40; %第3路调幅信号的载波频率fc3=250Hz,
fm3=fc3/10; %第3路调幅信号的调制信号频率fm3=25Hz
xt1=cos(2*pi*fm1*t).*cos(2*pi*fc1*t); %产生第1路调幅信号
xt2=cos(2*pi*fm2*t).*cos(2*pi*fc2*t); %产生第2路调幅信号
xt3=cos(2*pi*fm3*t).*cos(2*pi*fc3*t); %产生第3路调幅信号
st=xt1+xt2+xt3; %三路调幅信号相加
fxt=fft(st,N); %计算信号st的频谱
%====以下为绘图部分，绘制st的时域波形和幅频特性曲线====================
subplot(3,1,1)
plot(t,st);grid;xlabel('t/s');ylabel('s(t)');
axis([0,Tp/8,min(st),max(st)]);title('(a) s(t)的波形')
subplot(3,1,2)
stem(f,abs(fxt)/max(abs(fxt)),'.');grid;title('(b) s(t)的频谱')
axis([0,Fs/5,0,1.2]);
xlabel('f/Hz');ylabel('幅度')
5．实验程序框图如图10.4.2所示，供读者参考。
调用函数mstg产生st，自动绘图
调用函数mstg产生st，自动绘图
显示st的时域波形和幅频特性曲线
调用ellipord和ellip分别设计三个椭圆滤波器，并绘图显示其幅频响应特性曲线。
调用filter，用三个滤波器分别对信号st进行滤波，分离出三路不同载波频率的调幅信号y1(n)、y2(n)和y3(n)
绘图显示y1(n)、y2(n)和y3(n)的时域波形和幅频特性曲线
End
图10.4.2 实验4程序框图
四、实验结果
1、滤波器参数选取
观察图10.4.1可知，三路调幅信号的载波频率分别为250Hz、500Hz、1000Hz。带宽分别为50Hz、100Hz、200Hz。所以，分离混合信号st中三路抑制载波单频调幅信号的三个滤波器（低通滤波器、带通滤波器、高通滤波器）的指标参数选取如下：
对载波频率为250Hz的调幅信号，可以用低通滤波器分离，其指标为
带截止频率Hz，通带最大衰减dB；
阻带截止频率Hz，阻带最小衰减dB，
对载波频率为500Hz的条幅信号，可以用带通滤波器分离，其指标为
带截止频率Hz，Hz，通带最大衰减dB；
阻带截止频率Hz，Hz，Hz，阻带最小衰减dB，
对载波频率为1000Hz的条幅信号，可以用高通滤波器分离，其指标为
带截止频率Hz，通带最大衰减dB；
阻带截止频率Hz，阻带最小衰减dB，
2、实验源程序
%% IIR数字滤波器设计及软件实现
clear all;close all
Fs=10000;T=1/Fs; %采样频率Fs=10kHz
N=1600; %N为信号st的长度
%调用信号产生函数mstg产生由三路抑制载波调幅信号相加构成的复合信号st
st=mstg;
%===================低通滤波器设计与实现===================
% 低通滤波器设计部分
fp=280;fs=450;
wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;rp=0.1;rs=60; %DF指标（低通滤波器的通、阻带边界频）
[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wp
[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp); %调用ellip计算椭圆带通DF系统函数系数向量B和A
y1t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现
% 低通滤波器绘图部分
figure(2);
subplot(2,1,1);myplot(B,A); %调用绘图函数myplot绘制损耗函数曲线
yt='y_1(t)';
subplot(2,1,2); tplot(y1t,yt); %调用绘图函数tplot绘制滤波器输出波形
%===================带通滤波器设计与实现===================
% 带通滤波器设计部分
fpl=440;fpu=560;fsl=275;fsu=900;
wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];rp=0.1;rs=60;
[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wp
[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp); %调用ellip计算椭圆带通DF系统函数系数向量B和A
y2t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现
% 带通滤波器绘图部分
figure(3);
subplot(2,1,1);myplot(B,A); %调用绘图函数myplot绘制损耗函数曲线
yt='y_2(t)';
subplot(2,1,2); tplot(y2t,yt); %调用绘图函数tplot绘制滤波器输出波形
%===================高通滤波器设计与实现===================
% 高通滤波器设计部分
fp=890;fs=600;
wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;rp=0.1;rs=60; %DF指标（低通滤波器的通、阻带边界频）
[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wp
[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp,'high'); %调用ellip计算椭圆带通DF系统函数系数向量B和A
y3t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现
% 高通滤波器绘图部分
figure(4);
subplot(2,1,1);myplot(B,A); %调用绘图函数myplot绘制损耗函数曲线
yt='y_3(t)';
subplot(2,1,2); tplot(y3t,yt); %调用绘图函数tplot绘制滤波器输出波形
3、实验结果与分析
以上程序的运行结果如下图(a),图(b),图(c)所示。由图可见，三个分离滤波器指标参数选取正确，算耗函数曲线达到所给指标。分离出的三路信号y1(n)，y2(n)和y3(n)的波形是抑制载波的单频调幅波。
(a) 低通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y1(t)
(b) 带通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y2(t)
(c)高通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y3(t)
五、思考题(选做)
（1）请阅读信号产生函数mstg，确定三路调幅信号的载波频率和调制信号频率。
（2）信号产生函数mstg中采样点数N=800，对st进行N点FFT可以得到6根理想谱线。如果取N=1000，可否得到6根理想谱线？为什么？N=2000呢？请改变函数mstg中采样点数N的值，观察频谱图验证您的判断是否正确。
（3）修改信号产生函数mstg，给每路调幅信号加入载波成分，产生调幅（AM）信号，重复本实验，观察AM信号与抑制载波调幅信号的时域波形及其频谱的差别。
提示：AM信号表示式：。
答：
（1） 观察图10.4.1可知，三路调幅信号的载波频率分别为250Hz、500Hz、1000Hz，调制信号分别为25Hz、50Hz、100Hz。
（2）改变mstg函数中的采样点数N的值后运行程序，观察发现当N=1800时，不能得到理想的6根谱线，而当N=2000时，可以得到6根理想的谱线。通过分析发现，st的每个频率成分都是25Hz的整数倍。采样频率Fs=10kHz=25×400Hz，即在25Hz的正弦波的1个周期中采样400点。所以，当N为400的整数倍时一定为st的整数个周期。因此，采样点数N=800和N=2000时，对st进行N点FFT可以得到6根理想谱线。如果取N=1000，不是400的整数倍，不能得到6根理想谱线。
（3）修改函数mstg后运行结果如下图10.4.3所示，通过与图10.4.1比较发现s(t)的频谱中有幅度较大的载频分量。
图10.4.3三路AM调幅信号st的时域波形和幅频特性曲线
六、实验总结
（1）通过此次实验，加深了对IIR数字滤波器设计的理解和掌握。IIR数字滤波器的设计分为直接法与间接法，但一般采用间接法（即脉冲响应不变法和双线性变换法），但应用最广泛的是双线性变换法。
（2）此次实验掌握了IIR数字滤波器的基本设计过程：①先将给定的数字滤波器的指标转换成过渡模拟滤波器的指标； ②设计过渡模拟滤波器；③将过渡模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器的系统函数。
（3）此次实验使用了FDATool进行滤波器的设计，它使设计滤波器变得简单方便，不需要用户去调用滤波器设置的函数，只需要输入指标，就能的得到满足条件的滤波器。
（4）通过实验运行结果的耗损函数图像看出了脉冲响应不变法与双线性变换法的区别，即脉冲响应不变法不能用于设计高通滤波器和带通滤波器，因为它们会发生频谱混叠，而双线性变换法却不会，但它会使滤波器的频响曲线发生非线性变化，产生畸变。
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