非线性电路振荡周期的分岔与混沌
材物 81 080960
实验目的
1?了解非线性系统混沌现象的形成过程；
2?通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解
3?理解“蝴蝶效应”。
实验原理
分岔与混沌理论
⑴逻辑斯蒂映射
为了认识混沌(ChaoS)现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射， 即一维线段的非线性映射，
因为
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用 0和1之间的数X表示。逻辑斯蒂映射是
X- kx(1 -x)
其中k是0和4之间的常数。迭代这映射，我们得离散动力学系统
Xn 1 =kXn(1 -Xn),门=0,1 , 2,
我们发现：①当k小于3时，无论初值是多少经过多次迭代 ，总能趋于一个稳定的不动点；②
当k大于3时，随着k的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周 期2循环；k继续增大会出现 4, 8, 16, 32,周期倍化级联； ③很快k在3.58左右就结束
了周期倍增，迭代结果出现混沌，从而无周期可言。④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏 感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应” 。⑤迭代结果
不会超出0?1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先
画一条目=kx(1 - x)的抛物线，再画一条 y = X的辅助线，迭代过程如箭头线所示(图 1 )。
图1 — A不动点 图1 — B分岔周期2 图1 — C混沌 图1 — D蝴蝶效应
图1
⑵逻辑斯蒂映射的分岔图
以k为横坐标，迭代200次以后的X值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
1 no0.75 —C∣.5tf* —O <2 5i —C I .CJ?> 2 ?暮。3.dσ图2逻辑斯蒂映射的分岔图。 k
1 no
0.75 —
C∣.5tf* —
O <2 5i —
C I .CJ?>
2 ?暮。
3.dσ
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期 3, 5, 7,奇数及其倍周期 6,
10, 14,的循环，混沌产生有序，或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代， 不是个别例子特有
的，具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。 混沌是非线性系统中存
在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。 混沌是指确定论系统（给系
统建立确定论的动力学方程组） 中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系
统的长期行为具有不可预测性。
非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌
⑴非线性电路与非线性动力学
实验电路如图3所示。它由有源非线性负阻器件 R; LC振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件 R,它是一个有源非线性负阻器件；电感器 L和电容器C2组
成一个损耗可以忽略的振荡回路； 可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的
正弦信号移相输出。较理想的非线性元件 R是一个三段分段线性元件。图4所示的是该
是相反的。由于加在此元件上的电压增加时, 非线性负阻元件。图4图3非线性电路原理图图3电路的非线性动力学方程为:图4
是相反的。由于加在此元件上的电压增加时, 非线性负阻元件。
图4
图3非线性电路原理图
图3电路的非线性动力学方程为:
图4非线性负阻器件R的伏安曲线
CI
dVc1
dt
=G* (Vc2 -VCI^g* Vc1
C2 d^ = G* (Vc1 -Vc2) i L dt
L鱼
L鱼
dt
--Vc2
式中，导纳G= 打开机箱，把机箱右下角的铁氧体介质电感连接插孔插到实验仪面板左面对应的香 焦插头上。
实验仪面板上的 CH2接线柱连接示波器的 Y输入，CH1接线柱连接示波器的 X输 入，连接实验仪与示波器的接地。按下示波器的 DiSPIay按钮，DiSPIay菜单就会出现在显示屏的右方，菜单右边的五个按钮可改变所对应的内容。 选择XY
打开机箱，把机箱右下角的铁氧体介质电感连接插孔插到实验仪面板左面对应的香 焦插头上。
实验仪面板上的 CH2接线柱连接示波器的 Y输入，CH1接线柱连接示波器的 X输 入，连接实验仪与示波器的接地。按下示波器的 DiSPIay按钮，DiSPIay菜单就会出
现在显示屏的右方，菜单右边的五个按钮可改变所对应的内容。 选择XY工作方式。
同样可调出CH1和CH2菜单，并置X和Y输入为DC耦合，可得CH1和CH2信 号合成的相图。选择 YT工作方式，按 CH1和CH2按钮，使显示屏上只有一种波 形，调节扫描速率和电平，使波形稳定，可观察 CH1和CH2的波形图。
电感器L的电流，g表示非线性电阻的导纳。
⑵有源非线性负阻元件的实现
有源非线性负阻元件实现的方法有多种， 这里使用的是一种较简单的电路： 采用两个
运算放大器（一个双运放 TL082 ）和六个配置电阻来实现，其电路如图 5所示，它的伏安特
性曲线如图6所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整个电路的影响， 只要知道它主要
是一个负电阻电路（元件）能输出电流，维持 LC2振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的
作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图5图7实际非线性混沌电路图
图5
图7实际非线性混沌电路图
NCE — 1型非线性电路混沌仪的调节和使用
把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上，注意插
头插座的方向应一致。
然后插上电源，按实验仪面板右边的钮子开关， 对应的_ 15V
指示灯点亮。
调节W1粗调电位器和 W2细调电位器，改变（RV1+RV2）C移向器中电阻的阻值， 观测相图周期的变化，观测倍周期分岔，阵发混沌，三倍周期，吸引子（混沌）和
双吸引子（混沌）现象，及相应的扫描波形。
按实验仪面板左边的钮子开关可开启 0—19.999V直流数字电压表，数字闪烁表示 输入电压超过量程。
实验内容
1.调节Rv1+Rv2阻值。在示波器上观测图 7所示的CH1 ——地和 CH2 ——地所构成 的相图（李萨如图），调节电阻 Rv1+Rv2值由大至小时，描绘相图周期的分岔及混 沌现象。将一个环形相图的周期定为 P,那么要求观测并记录 2P, 4P,阵发混沌，
3P,单吸引子（混沌），双吸引子（混沌）共六个相图和相应的 CH1 ――地和CH2
――地两个输出波形。
2..把有源非线性电阻元件与移相器连线断开。测量非线性单元电路在电压 V V0时的
伏安特性，作I ―― V关系图。
实验结果、
（1）当一倍周期时，实验现象如下图:
（2）当二倍周期（即周期 2循环）时，实验现象如下图:
(3)当四倍周期时，实验现象如下图:
5)观察单吸引子，实验现象如下图:
(6)观察周期态，实验现象如下图:
注意事项
双运算放大器TL082的正负极不能接反，地线与电源接地点接触必须良好。
关掉电源后拆线。
2.仪器应预热10分钟开始测量数据。
七、思考题
非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么?
答：在电路中，加入非线性负阻元件，是为了使振动周期产生分岔和混沌等一系 列的现象。
通过本实验请阐述：倍周期分岔，混沌，奇怪吸引子等概念的物理含义。
答:倍周期分叉过程是一条通向混沌的典型道路，即可以认为是从周期窗口
中进入混沌的一种方式。通过倍周期分叉到达混沌现象的过程中，会依次经过
周期1,周期2,……周期4,混沌单吸引子和混沌双吸引子。
混沌，在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动。
它对初始条件有极其强烈的敏感性。
奇怪吸引子，即是一个不稳定平衡点。